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Circunferência de centro na origem e raio $1$.
O lado extremidade do ângulo $\alpha$ interseta a circunferência no ponto $P$:
$P(\color{#1d4ed8}{\cos\alpha},\ \color{#dc2626}{\sin\alpha})$
A reta $OP$ interseta a reta $x = 1$ no ponto $T$:
$T(1,\ \color{#059669}{\tan\alpha})$
$\color{#059669}{\tan\alpha} = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\quad \cos\alpha \neq 0$
O triângulo de vértices $O$, $(\cos\alpha, 0)$ e $P$ é retângulo, com catetos $|\cos\alpha|$ e $|\sin\alpha|$ e hipotenusa $1$.
Pelo Teorema de Pitágoras:
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$
Dividindo ambos os membros por $\cos^2\alpha$ $(\cos\alpha \neq 0)$:
$1 + \tan^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$
O triângulo $[OTP]$, com $\color{#1d4ed8}{\overline{OT} = \cos\alpha}$ e $\color{#dc2626}{\overline{TP} = \sin\alpha}$, é transformado numa rotação, numa simetria central ou numa reflexão. Os catetos dão as coordenadas de $P'$.
| $\beta$ | $\sin\beta$ | $\cos\beta$ | $\tan\beta$ |
|---|---|---|---|
| $\frac{\pi}{2} - \alpha$ | $\cos\alpha$ | $\sin\alpha$ | $\frac{1}{\tan\alpha}$ |
| $\frac{\pi}{2} + \alpha$ | $\cos\alpha$ | $-\sin\alpha$ | $-\frac{1}{\tan\alpha}$ |
| $\pi - \alpha$ | $\sin\alpha$ | $-\cos\alpha$ | $-\tan\alpha$ |
| $\pi + \alpha$ | $-\sin\alpha$ | $-\cos\alpha$ | $\tan\alpha$ |
| $-\alpha$ | $-\sin\alpha$ | $\cos\alpha$ | $-\tan\alpha$ |
Regra: com $\pi \pm \alpha$ e $-\alpha$ mantém-se a razão; com $\frac{\pi}{2} \pm \alpha$ troca-se seno com cosseno. O sinal é o da razão de $\beta$ no seu quadrante.
Apoio: app Redução ao 1.º quadrante.
Observa a figura na qual os vértices do quadrado $[EFGH]$, de $5$ cm de lado, são pontos dos lados do quadrado $[ABCD]$.
1.1. Mostra que a área do quadrado $[ABCD]$ é dada, em função de $\alpha$, por $$A(\alpha) = 25 + 50\cos\alpha \times \sin\alpha$$
1.2. Calcula $A(0)$ e faz a interpretação geométrica do valor encontrado.
1.3. Considera $\tan\alpha = \dfrac{3}{4}$ e determina a área do quadrado $[ABCD]$.
Na figura, em referencial o.n. $Oxy$, estão representados o círculo trigonométrico e um triângulo, $[OPA]$. O ponto $P$ pertence à circunferência trigonométrica, sendo $0^\circ < \theta < 180^\circ$.
2.1. Considera $\theta = 30^\circ$.
a) Indica as coordenadas do ponto $P$ e calcula o valor da área do triângulo.
b) Identifica as coordenadas de um ponto $R$ da circunferência, distinto de $P$, tal que os triângulos $[AOR]$ e $[AOP]$ tenham a mesma área.
2.2. Seja $d = \overline{AP}$.
a) Mostra que $d^2 = 2 + 2\cos\theta$.
b) Determina o valor de $\tan\theta$ no caso de $d = 1{,}2$.
Determina para que valores de $k$ se verifica cada uma das seguintes condições:
Ideia: O ponto $Q(k+1,\ \tfrac{k-1}{2})$ tem de ser um ponto da circunferência trigonométrica.
Move $k$ e observa o eixo de $k$ em baixo: ● há solução, ● não há.
Determina para que valores de $k$ se verifica cada uma das seguintes condições:
Ideia: A reta $y = 1-\frac{k}{2}$ tem de intersetar o arco que corresponde ao intervalo de $\beta$.
Move $k$ e observa o eixo de $k$ em baixo: ● há solução, ● não há.
Determina para que valores de $k$ se verifica cada uma das seguintes condições:
Ideia: A reta $x = k^2-3$ tem de intersetar o arco do 1.º quadrante.
Move $k$ e observa o eixo de $k$ em baixo: ● há solução, ● não há.
Determina para que valores de $k$ se verifica cada uma das seguintes condições:
Ideia: O ponto $T(1,\ k-2k^2)$ da reta $x=1$ tem de corresponder a um ponto do arco do 3.º quadrante.
Move $k$ e observa o eixo de $k$ em baixo: ● há solução, ● não há.
Na figura estão representados um quadrado, $[ABCD]$, e um triângulo isósceles, $[ABP]$.
Fixada uma unidade de comprimento, sabe-se que:
4.1. Determina $\overline{PM}$ se $\alpha = 30^\circ$.
4.2. Mostra que $\overline{PM} = 5 - \dfrac{5}{2\tan\alpha}$ e indica o intervalo de variação de $\alpha$.
Na figura está representado um losango $[PQRS]$, cujo lado mede $5$ unidades de comprimento.
Seja $\alpha$ a amplitude de um dos seus ângulos internos não obtusos, tal que $0^\circ < \alpha \leqslant 90^\circ$.
5.1. Mostra que a área do losango é dada pela expressão: $$A(\alpha) = 50\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$$
5.2. Calcula $A(90^\circ)$ e interpreta, geometricamente, o valor encontrado.
5.3. Considera $\tan\alpha = \sqrt{3}$ e determina, neste caso, o valor exato da medida da área do losango $[PQRS]$.
Uma roda de raio $1$ rola, sem deslizar, ao longo do eixo $Ox$. Uma marca na periferia da roda descreve uma trajetória que começa no ponto $(0,0)$.
6.1. Determina a abcissa do ponto $P$ onde a marca volta a tocar pela primeira vez no eixo $Ox$.
6.2. Determina as coordenadas do centro da roda depois de esta dar um quarto de volta.
6.3. Determina as coordenadas da marca depois de a roda dar um quarto de volta.
6.4. Determina as coordenadas da marca depois de a roda percorrer uma distância $t$, com $t < \dfrac{\pi}{2}$.
6.5. Verifica se as fórmulas que obtiveste também são válidas para $t \geqslant \dfrac{\pi}{2}$.
A torre de vigia de uma prisão está a $30$ metros do muro mais próximo. A figura mostra a situação vista de cima. O holofote $L$, no topo da torre, roda no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, dando uma volta completa a cada seis segundos, e projeta um feixe de luz que se desloca ao longo do muro.
Seja $N$ o ponto do muro mais próximo do holofote, $M$ a mancha de luz, $d$ a distância de $N$ a $M$ e $t$ o tempo, em segundos, desde a última vez que $M$ passou por $N$.
7.1. Determina $d$ para $t = 0{,}00$, $t = 0{,}30$, $t = 0{,}75$ e $t = 1{,}49$.
7.2. As variáveis $d$ e $t$ estão relacionadas linearmente? Qual é o aspeto do gráfico desta relação?
7.3. Porque é que «distância» não é a palavra adequada para descrever a situação no instante $t = 5$?
Na figura está representada, a cinzento, parte do gráfico de uma função definida por uma expressão da forma $y = k + a\cos x$, com $a$ e $k$ números reais e $x$ em graus.
8.1. Determina valores plausíveis para os coeficientes $a$ e $k$.
8.2. Explica de que forma estes números influenciam o aspeto do gráfico.
Ideia: O máximo e o mínimo de $y = k + a\cos x$ são $k + |a|$ e $k - |a|$: $k$ é a linha média e $|a|$ é a amplitude.
Move $a$ e $k$ até a curva azul coincidir com a da figura. Apoio: app Parâmetros k e a.
$P$ pertence à circunferência trigonométrica de centro $E$, $N = (1, 0)$, $\theta = P\hat{E}N$ (em radianos, $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$), $T$ é a projeção de $P$ em $Ox$ e $D \in \dot{E}P$ está na tangente à circunferência em $N$.
9.1. Escreve as coordenadas de $P$ e de $D$ em função de $\theta$.
9.2. Determina as áreas de $[PET]$, de $[DEN]$ e do setor $PEN$.
9.3. Ordena essas áreas, usando o símbolo $<$.
9.4. Explica por que razão $\cos\theta < \frac{\theta}{\sin\theta} < \frac{1}{\cos\theta}$.
9.5. Calcula o limite do menor e do maior membro quando $\theta \to 0$. O que concluis sobre $\lim\limits_{\theta\to0}\frac{\sin\theta}{\theta}$? (Teorema das funções enquadradas)